发布日期：2025-01-15 09:52 点击次数：176
作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30
译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3
弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过调动范畴论用具来长入和简化数学。本文尝试描绘这也曾过中的一些里程碑和愿景。
1 一语气统物理（Continuum physics，即一语气介质物理）
劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的犬子。他在印第安纳大学学习物理学，很快就以为推理需要给与更多可用的以及更明确的基础，尤其是在一语气统（一语气介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有访佛的基础议程。劳维尔此时已经看到了范畴论门径的必要性。第一步是为了达成“范畴能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末达成）。重要的一步是他对函数空间酿成的范畴论表述，用到了通用性（跟随函子 adjoint functor）：笛卡尔闭范畴（Cartesian closed categories）。
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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月
特拉斯德尔暗里研究了艾伦伯格，以促使劳维尔看成艾伦伯格的博士生参预哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，那时劳维尔去了加利福尼亚，从大家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等何处学习更多的聚拢论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中罕见是代数表面的主见所以无默示的姿首给出的。
2 聚拢的范畴
对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的转化点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理西宾。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的浩大采访中[2]，劳维尔说：
在里德，我被教诲，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时候试图预备基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）聚拢论的微积分课程。但是，沉静评估之后发现，从荫藏微分和积分的积蓄档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构聚拢的范畴结构似乎既浅易又接近。因此，聚拢范畴的基本表面产生于隧谈的试验培植需要。
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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99
劳维尔的好多量学设置（主见，构造和定理）是由于勉力调动微积分和工程数学素质的成果，而且这些勉力导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不可在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错笔据映射的主见来表述ƒ: A → B（终点合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:
从形而上学上讲，不错说这些发展扶植了，即使在聚拢论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中恒久以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的试验并不存在于试验中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像试验），而是存在于样式中（举例由通用映射属性界说，有影响的主见是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和灵验处理这些想法的具体时刻机器，是由Eilenberg-Mac Lane的范畴论，函子和当然变换表面提供。
在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在何处探询了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼收效眩惑了多位范畴论学家参与。值得防范的是，票据（monad）的主见以及它与代数表面和同调性的关系被建筑（见[3]）。
从苏黎世动身，不错参加在德国南部隔壁的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔际遇了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学门径，如SGA4中所述[1]。
3 格罗滕迪克
格罗滕迪克的责任对劳维而自后的责任产生了根人性的影响。他们第一次碰面是在尼斯的ICM（1970年外洋数学家大会），他们皆是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生活”通达。
1973年，他们皆来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：
我暴露地谨记他伙同我代数几何的基本见地，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，商讨他对一个神气的看法[...]。我终末一次见他是在1989年的统一个地方（Aurelio Carboni从米兰开车送我去何处）：他昭彰很甘心见到我，但因为宗教誓词不话语；他在一张纸上写谈，他也被退却酌量数学，尽管很快他的数学灵魂到手了，留给我一些稀有的数学条记。
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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学
4 范畴能源学和概述微分几何
在1967年的大部分时候里，劳维尔是芝加哥大学的助理西宾。劳维尔在这里开动在高等讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕一语气介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（那时正在劳维尔的带领下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的罕见产出不是十足老到的范畴能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无尽小”对象D（运用假设空间范畴的笛卡尔闭结构），具有可默示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）想路的一个方面自后被一些东谈主发展为一个老到的“概述微分几何”（synthetic differential geometry）。
代数几何的灵敏，这是范畴能源学中发展的基础，也不错引入并应用在模范光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的兴趣上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关紧迫的是不条款使用生成元和关系默示。
5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑
劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，已经更深信，拓扑斯不仅看成范畴能源学的布景，而且适用于聚拢论和逻辑的主见：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于一语气统假设的责任）。在布拉加的采访中，他说：
这些昭彰十足不同的拓扑斯，波及无尽小的通达和高等逻辑，可能是统一个浅易公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的承诺。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时代，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发酿成相伴层（associated sheaf）的运算问题的成果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。
此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学获取了有名的基拉姆西宾职位，那时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），相同得到基拉姆的扶植。这意味着在1969年至1971年时代，达尔豪斯成为一个吵杂的地方；罕见是在数学上，初等拓扑斯的主见在这里逐渐明确结晶。值得防范的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才持重出书）。
但是，在1971年，达尔豪西的梦之队被闭幕了；大学行政部门阻隔与劳维尔续约条约，因为他的政事举止抗议越南战役和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危境为借口暂停民事目田。（但在1995年，达尔豪斯专揽了举止庆祝范畴论50年，劳维尔有参与）
劳维尔在1971年迟误哈利法克斯前夜组织的一次会议，有紧迫的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].
1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座西宾（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座西宾（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新见地，得到巩固和更泛泛传播。另外，1973年劳维尔终末假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保握密切研究；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。
咱们在哈利法克斯和自后学习的拓扑斯罕见是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的辞别。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯范畴的一种输入，即在它们的函子互干系系中的拓扑斯。这些研究是由好多研究东谈主员开采的，并纪录在好多量学专著、著作会通议中（有或莫得会议要津）。劳维尔十分积极地参与会议，经常看成特邀主讲东谈主；他对获取他的想法的资产以及愿景以书面样式写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于范畴能源学的创始性演讲，直到1978年才以书面样式在奥胡斯举行的握续“怒放日”夏日会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面门径”[5]。
1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一齐）在布法罗组织了一次会议，“一语气介质物理学中的范畴”，一语气介质物理学的好多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议纪录中的三篇著作 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。
劳维尔于1977年在达勒姆紧迫的大型夏日会议的科学带领委员会中，其“层的应用” [4]，象征着在数学和物理表面主见化中运用相对浅易的主题的冲破。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的范畴”的演讲，但是，我无法找到书面纪录。另一方面，如实研究于劳维尔在此次会议上的演讲（有利害的申辩）的纪录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学形而上学和发展的看法。我把它包括在内，因为要是莫得反馈他的政事/形而上学生活和责任中欠协调的性情，那么劳维尔的讣告是不竣工的：
在这场达勒姆申辩中，劳维尔在演讲开动时说（笔据我的条记和挂牵）：
数学是研究空间样式和数目关系的科学。数学的想法是什么？其想法是剖析这种关系，以便看成东谈主们相助起来惩办分娩斗争中的问题（不是数常识题）以及这种斗争的崇敬性（即科学实验）的基础。
在演讲的早期阶段，已经出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“分娩的想法是什么？” 劳维尔想了好一霎才酬报：“带你来这里！”
在演讲的后期，劳维尔说：
数学逻辑的想法；剖析和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的姿首：还有一个反想法：隐隐、复杂化和覆盖数学的学习、使用和发展。罕见是，通过促进来冻合髻展：探究免强一切皆参预一个先入之见的框架[...]。这两个想法在咱们每个东谈主的内心皆在互相斗争。[...]通常，反想法胜过想法。这是因为反想法合适统治阶层的利益。这是已往100年来发生了无边变化的事情。独揽资产阶层的利益反对分娩力的发展。
6 公理内聚
这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和形而上学责任的总共方面竣工综述的地方。再提供一些重要词：概率、范畴逻辑、地方/纤维范畴、度量空间看成充实后的范畴，语言学，泛泛与密集数目，物理量范畴，格拉斯曼，公理内聚。
正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。
以下是2007年出书物的援用：
需要明确的内聚科学来说明能源学数学表面的各式布景模子。这么的科学需要有实足的发达力，来说明这些布景与其他数学范畴有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯相助，以致于它们不错互相回荡。这种互相休养的日常例子是天气预告员从有限元门径（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到一语气介质热力学方程（不错看作是光滑函数和分散所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。
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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天
这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p! ⊣ p^* ⊣ p_* ⊣ p^! ,字符串中的每个字符串皆与下一个字符串左跟随。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：
p! 将某空间的集合组件的聚拢关联到（充分好的）该空间，p^* 将聚拢上的有时空间结构关联到该聚拢，P_* 将其点集关联到该空间，终末P^! 将聚拢上的协有时空间结构关联到该聚拢。在拓扑斯范畴中，这种字符串的属性组成了上述引文中条款的诸多判袂。
劳维尔提议的好多想法中唯唯一部分已经写出来，更无须说发表、成形，但只以种子的样式存在于身边东谈主的想想和条记中。
也许，改日硕果累累的植物将从这些种子中长出来。要是种子更容易获取，种子的发芽将得到加强。一些建筑此类档案的举止正在开展，罕见是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere
对于作家：
安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉西宾。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔带领下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的怒放日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多范畴表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 概述微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的概述几何》（剑桥大学出书社，2010年）。
参考尊府
[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)
[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)
[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)
[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)
[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)
[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)
[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)
[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)
[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)
[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143
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